On a \(Y = e^X = e^{\mu + \sigma Z} = e^\mu e^{\sigma Z}\). D’après le théorème de transfert, \[\begin{align*} \E(e^{\sigma Z}) & = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\sigma z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^2 - 2\sigma z + \sigma^2 - \sigma^2}{2}} dz \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(z-\sigma)^2}{2}} e^{\frac{\sigma^2}{2}} dz \\ & = e^{\frac{\sigma^2}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(z-\sigma)^2}{2}} dz \\ & = e^{\frac{\sigma^2}{2}} \\ \end{align*}\] Donc par linéarité, \(\E(Y) = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}\).

De même, on s’intéresse à \(\E(Y^2) = \E(e^{2X}) = \E(e^{2\mu + 2\sigma Z}) = e^{2\mu} \E(e^{2\sigma Z})\). D’après le calcul précédent, \(\E(e^{2\sigma Z}) = e^{2\sigma^2}\). Donc \(\E(Y^2) = e^{2\mu + 2\sigma^2}\) et par théorème de Koenig-Huygens, \[\begin{align*} \var(Y) & = \E(Y^2) - \E(Y)^2 \\ & = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} \\ & = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1) \end{align*}\]

Loi log-normale