Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi exponentielle \(\mathcal E(\lambda)\), avec \(\lambda>0\). On pose, pour tout \(n\geq 1\), \[M_n=\max(X_1,\ldots,X_n).\] On définit également \[Y_n=\lambda M_n-\ln n.\] Enfin, on considère une variable aléatoire \(Z\) de densité \[g(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}},\qquad x\in\mathbb R.\]
Donner la fonction de répartition \(F\) de \(X_1\).
Montrer que la fonction de répartition de \(M_n\) est donnée par \[F_{M_n}(x)=\mathbb P(M_n\leq x)=F(x)^n.\]
Montrer que les fonctions de répartition de \(Y_n\) et \(M_n\) sont liées par \[F_{Y_n}(x)=F_{M_n}\left(\frac{x+\ln n}{\lambda}\right).\]
Montrer que, pour tout \(x>0\), \[F_{Y_n}(x)=\left(1-\frac{e^{-x}}{n}\right)^n.\]
Montrer que la fonction de répartition de \(Z\) est \[F_Z(x)=e^{-e^{-x}},\qquad x\in\mathbb R.\]
Montrer que la suite \((Y_n)_{n\geq1}\) converge en loi vers \(Z\).
On modélise la hauteur maximale d’un fleuve pendant l’année \(i\) par une variable \(X_i\sim\mathcal E(0{,}5)\), les années étant indépendantes. Interpréter \(M_{100}\).
On approxime la loi de \(Y_{100}\) par celle de \(Z\). Calculer \(\mathbb P(Z>a)\) avec \[a=-\ln\bigl(-\ln(0{,}99)\bigr).\]
On donne \(a\simeq4{,}6\) et \(\ln(100)\simeq4{,}6\). Déterminer \(b>0\) tel que \[\mathbb P(M_{100}>b)\simeq0{,}01.\]