Courbes paramétrées et chaînette

Démontrer les propriété suivante :

$\ch^2(x) - \sh^2(x) = 1$, pour tout $x \in \R$.

$\ch '(x) = \sh(x)$ et $\sh'(x) = \ch(x)$.

Les fonctions trigonométriques $\cos$ et $\sin$ sont dites << circulaires >>. On rappelle les formules d’Euler : $$\cos(x) = \frac{e^{\ii x} + e^{-\ii x}}{2}, \qquad \sin(x) = \frac{e^{\ii x} - e^{-\ii x}}{2\ii}.$$ L’analogie avec la définition de $\ch(x)$ et $\sh(x)$ justifie les termes << cosinus >> et << sinus >>. Reste à justifier le terme << hyperbolique >> :

On considère les courbes paramétrées $C_1 \colon \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \cos(t)\\ y(t) = \sin(t) \end{array} \right.$ et $C_2 \colon \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \ch(t)\\ y(t) = \sh(t) \end{array} \right.$

Tracer des représentations graphiques de chacune de ces courbes paramétrées et commenter les calculs de $x(t)^2+y(t)^2$ et $x(t)^2 - y(t)^2$.

Étant donné un arc paramétré $\mathcal{C} : \left]a;b\right[ \to \Rr^2,\ t \mapsto (x(t),y(t))$, sa longueur dans une base orthonormale est donnée par la quantité $$L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \dt$$

On considère une chaînette dont le point le plus bas est $(0,a)$ et dont les extrémités ont pour coordonnées $(\pm x_0,y_0)$. On s’intéresse à la longueur $\ell$ de la courbe entre le point le plus bas et une des extrémités.

En utilisant l’équation cartésienne, écrire sous forme de courbe paramétrée la chaînette décrite ci-dessus.

Montrer que la demi longueur de la chaînette $\ell$ vaut $\ell=a\sh\left(\frac{x_0}{a}\right)$.

On peut démontrer les propriétés suivantes des fonctions hyperboliques :

La fonction $x \mapsto \ch x$ est une bijection de $[0,+\infty[$ dans $[1,+\infty[$. Sa bijection réciproque est notée $\Argch x$. Donc : $$\ch\left(\Argch(x)\right) = x \quad \forall x \in [1,+\infty[ \qquad\qquad \Argch\left(\ch(x)\right) = x \quad \forall x \in [0,+\infty[$$

La fonction $x \mapsto \sh x$ est une bijection de $\Rr$ dans $\Rr$. Sa bijection réciproque est notée $\Argsh x$. Donc : $$\sh\left(\Argsh(x)\right) = x \qquad\qquad \Argsh\left(\sh(x)\right) = x \quad \forall x \in \Rr$$

Les fonctions $x \mapsto \Argch(x)$ et $x \mapsto \Argsh(x)$ sont dérivables et $$\Argch'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \qquad\qquad \Argsh'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Pour tout $x \geq 1$ : $\Argch(x) = \ln\left( x+\sqrt{x^2-1} \right)$.

Pour tout $x \in \R$ : $\Argsh(x) = \ln\left( x+\sqrt{x^2+1} \right)$.

En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et l’équation cartésienne d’une chaînette, démontrer qu’une équation paramétrique de la chaînette est : $$\forall t>0 \colon \left\{ \begin{array}{rcl} x(t) &=& a \ln t \\ y(t) &=& \frac a 2 \left(t+\frac 1 t\right) \end{array} \right.$$