Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont la partie paire et impaire de l’exponentielle : \[\ch(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.\]
Démontrer les propriété suivante :
\(\ch^2(x) - \sh^2(x) = 1\), pour tout \(x \in \R\).
\(\ch '(x) = \sh(x)\) et \(\sh'(x) = \ch(x)\).
Les fonctions trigonométriques \(\cos\) et \(\sin\) sont dites << circulaires >>. On rappelle les formules d’Euler : \[\cos(x) = \frac{e^{\ii x} + e^{-\ii x}}{2}, \qquad \sin(x) = \frac{e^{\ii x} - e^{-\ii x}}{2\ii}.\] L’analogie avec la définition de \(\ch(x)\) et \(\sh(x)\) justifie les termes << cosinus >> et << sinus >>. Reste à justifier le terme << hyperbolique >> :
On considère les courbes paramétrées \(C_1 \colon \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \cos(t)\\ y(t) = \sin(t) \end{array} \right.\) et \(C_2 \colon \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \ch(t)\\ y(t) = \sh(t) \end{array} \right.\)
Tracer des représentations graphiques de chacune de ces courbes paramétrées et commenter les calculs de \(x(t)^2+y(t)^2\) et \(x(t)^2 - y(t)^2\).
Étant donné un arc paramétré \(\begin{array}[t]{cccc} \mathcal{C} :&\mathcal ]a;b[ &\rightarrow&\Rr^2\\ &t&\mapsto&(x(t),y(t)) \end{array}\), sa longueur dans une base orthonormale est donnée par la quantité \[L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \dt\]
On considère une chaînette dont le point le plus bas est \((0,a)\) et dont les extrémités ont pour coordonnées \((\pm x_0,y_0)\). On s’intéresse à la longueur \(\ell\) de la courbe entre le point le plus bas et une des extrémités.
En utilisant l’équation cartésienne, écrire sous forme de courbe paramétrée la chaînette décrite ci-dessus.
Montrer que la demi longueur de la chaînette \(\ell\) vaut \(\ell=a\sh\left(\frac{x_0}{a}\right)\).
On peut démontrer les propriétés suivantes des fonctions hyperboliques :
La fonction \(x \mapsto \ch x\) est une bijection de \([0,+\infty[\) dans \([1,+\infty[\). Sa bijection réciproque est notée \(\Argch x\). Donc : \[\ch\left(\Argch(x)\right) = x \quad \forall x \in [1,+\infty[ \qquad\qquad \Argch\left(\ch(x)\right) = x \quad \forall x \in [0,+\infty[\]
La fonction \(x \mapsto \sh x\) est une bijection de \(\Rr\) dans \(\Rr\). Sa bijection réciproque est notée \(\Argsh x\). Donc : \[\sh\left(\Argsh(x)\right) = x \qquad\qquad \Argsh\left(\sh(x)\right) = x \quad \forall x \in \Rr\]
Les fonctions \(x \mapsto \Argch(x)\) et \(x \mapsto \Argsh(x)\) sont dérivables et \[\Argch'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \qquad\qquad \Argsh'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.\]
Pour tout \(x \geq 1\) : \(\Argch(x) = \ln\left( x+\sqrt{x^2-1} \right)\).
Pour tout \(x \in \R\) : \(\Argsh(x) = \ln\left( x+\sqrt{x^2+1} \right)\).
En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques et l’équation cartésienne d’une chaînette, démontrer qu’une équation paramétrique de la chaînette est : \[\forall t>0 \colon \left\{ \begin{array}{rcl} x(t) &=& a \ln t \\ y(t) &=& \frac a 2 \left(t+\frac 1 t\right) \end{array} \right.\]