L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 2 questions

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Soit E=B(N,R)={suites u=(un) borneˊes}E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}. On munit EE de la norme : ∥u∥=sup⁡{∣un∣, n∈N}\|u\| = \sup\{|u_n|,\ n\in\N\}.

1

Montrer que EE est complet.

2

Soit Fk={u∈E tq ∥u∥=1 et u0=⋯=uk=0}F_k = \{ u\in E\text{ tq } \|u\| = 1\text{ et }u_0=\dots=u_k=0\}. Vérifier que les FkF_k forment une suite de fermés bornés emboı̂tés dont l’intersection est vide.

Exercice D51q

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