exo7 4809

Soit $E$ un evn de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On choisit ${\vec x}_0 \in E$, et on considère la suite $({\vec x}_n)$ définie par la relation de récurrence : ${\vec x}_{n+1} = \frac{u({\vec x}_n)}{\|u({\vec x}_n)\|}$.

On suppose que la suite $({\vec x}_n)$ converge. Montrer que la limite est un vecteur propre de $u$.

Exemples : 1) $E = \R^3$, $\text{mat}(u) = \left(\begin{smallmatrix} 1 &2 &3 \cr 4 &5 &6 \cr 7 &8 &9 \cr\end{smallmatrix}\right)$. 2) $E = \R^3$, $\text{mat}(u) = \left(\begin{smallmatrix} 0 &0 &1 \cr 1 &0 &0 \cr 0 &1 &0 \cr\end{smallmatrix}\right)$.