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Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\R$ ou $\C$ de dimension finie, et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x\in E$ la suite $(u^n(x))_{n\in\N}$ est bornée.

Montrer que la suite $(\|\hskip-1pt|u^n\|\hskip-1pt|)_{n\in\N}$ est bornée.

Déterminer la limite quand $n\to\infty$ de $\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i(x)$ .