Il est connu que \(N\) est une norme sur \(E\).

Montrons que \(N'\) est une norme sur \(E\).

(1) \(N'\) est une application de \(E\) dans \(\Rr^+\) car pour \(f\) dans \(E\), \(f'\) est continue sur le segment \([0,1]\) et donc \(f'\) est intégrable

sur le segment \([0,1]\).

(2) Soit \(f\in E\). Si \(N'(f) = 0\) alors \(f(0)=0\;\text{et}\;f'= 0\) (fonction continue positive d’intégrale nulle). Par suite, \(f\) est un

polynôme de degré inférieur ou égal à \(0\) tel que \(f(0)=0\) et on en déduit que \(f = 0\).

(3) \(\forall f\in E\), \(\forall \lambda\in\Rr\), \(N'(\lambda f) =|\lambda f(0)|+\int_{0}^{1}|\lambda f'(t)|\;dt=|\lambda|\left(|f(0)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|\;dt\right)=|\lambda| N'(f)\).

(4) Soit \((f,g)\in E^2\).

\(N'(f+g)\leqslant|f(0)|+|g(0)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|\;dt +\int_{0}^{1}|g'(t)|dt= N'(f)+N'(g)\).

Donc \(N'\) est une norme sur \(E\).

Montrons que \(N''\) est une norme sur \(E\). On note que \(\forall f\in E\), \(N''(f)=|f(0)|+N'(f')\) et tout est immédiat.

Soit \(f\in E\) et \(t\in[0,1]\). Puisque la fonction \(f'\) est continue sur \([0,1]\)

\(|f(t)| = |f(0) +\int_{0}^{t}f'(u)\;du|\leqslant|f(0)|+\int_{0}^{t}|f'(u)|du\leqslant |f(0)|+\int_{0}^{1}|f'(u)|\;du =N'(f)\),

et donc \(N(f) =\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt\leqslant\int_{0}^{1}N'(f)\;dt=N'(f)\).

Ensuite en appliquant le résultat précédent à \(f'\), on obtient

\(N'(f)=|f(0)|+N(f')\leqslant|f(0)|+N'(f')=N''(f)\).

Finalement

Pour \(n\in\Nn\) et \(t\in[0,1]\), on pose \(f_n(t) = t^n\).

\(N(f_n)=\int_{0}^{1}t^n\;dt= \frac{1}{n+1}\) et donc la suite \((f_n)_{n\in\Nn}\) tend vers \(0\) dans l’espace vectoriel normé \((E,N)\).

Par contre, pour \(n\geqslant1\), \(N'(f_n)=n\int_{0}^{1}t^{n-1}\;dt=1\) et la suite \((f_n)_{n\in\Nn}\) ne tend pas vers \(0\) dans l’espace vectoriel normé \((E,N')\). On en déduit que

De même en utilisant \(f_n(t)= \frac{t^n}{n}\), on montre que les normes \(N'\) et \(N''\) ne sont pas équivalentes.

exo7 5841