Il est connu que $N$ est une norme sur $E$ .

Montrons que $N'$ est une norme sur $E$ .

(1) $N'$ est une application de $E$ dans $\Rr^+$ car pour $f$ dans $E$ , $f'$ est continue sur le segment $[0,1]$ et donc $f'$ est intégrable

sur le segment $[0,1]$ .

(2) Soit $f\in E$ . Si $N'(f) = 0$ alors $f(0)=0\;\text{et}\;f'= 0$ (fonction continue positive d’intégrale nulle). Par suite, $f$ est un

polynôme de degré inférieur ou égal à $0$ tel que $f(0)=0$ et on en déduit que $f = 0$ .

(3) $\forall f\in E$ , $\forall \lambda\in\Rr$ , $N'(\lambda f) =|\lambda f(0)|+\int_{0}^{1}|\lambda f'(t)|\;dt=|\lambda|\left(|f(0)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|\;dt\right)=|\lambda| N'(f)$ .

(4) Soit $(f,g)\in E^2$ .

$N'(f+g)\leqslant|f(0)|+|g(0)|+\int_{0}^{1}|f'(t)|\;dt +\int_{0}^{1}|g'(t)|dt= N'(f)+N'(g)$ .

Donc $N'$ est une norme sur $E$ .

Montrons que $N''$ est une norme sur $E$ . On note que $\forall f\in E$ , $N''(f)=|f(0)|+N'(f')$ et tout est immédiat.

$N$ , $N'$ et $N''$ sont des normes sur $E$ .

Soit $f\in E$ et $t\in[0,1]$ . Puisque la fonction $f'$ est continue sur $[0,1]$

$|f(t)| = |f(0) +\int_{0}^{t}f'(u)\;du|\leqslant|f(0)|+\int_{0}^{t}|f'(u)|du\leqslant |f(0)|+\int_{0}^{1}|f'(u)|\;du =N'(f)$ ,

et donc $N(f) =\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt\leqslant\int_{0}^{1}N'(f)\;dt=N'(f)$ .

Ensuite en appliquant le résultat précédent à $f'$ , on obtient

$N'(f)=|f(0)|+N(f')\leqslant|f(0)|+N'(f')=N''(f)$ .

Finalement

$\forall f\in E$ , $N(f)\leqslant N'(f)\leqslant N''(f)$ .

Pour $n\in\Nn$ et $t\in[0,1]$ , on pose $f_n(t) = t^n$ .

$N(f_n)=\int_{0}^{1}t^n\;dt= \frac{1}{n+1}$ et donc la suite $(f_n)_{n\in\Nn}$ tend vers $0$ dans l’espace vectoriel normé $(E,N)$ .

Par contre, pour $n\geqslant1$ , $N'(f_n)=n\int_{0}^{1}t^{n-1}\;dt=1$ et la suite $(f_n)_{n\in\Nn}$ ne tend pas vers $0$ dans l’espace vectoriel normé $(E,N')$ . On en déduit que

les normes $N$ et $N'$ ne sont pas des normes équivalentes.

De même en utilisant $f_n(t)= \frac{t^n}{n}$ , on montre que les normes $N'$ et $N''$ ne sont pas équivalentes.

exo7 5841