Pour $\|x\| \le 1$ et $\|y\| \le 1$ on a $\|f(x)-f(y)\| = \|x-y\|$ .

Pour $\|x\| \le 1< \|y\|$ on a $\|f(x)-f(y)\| \le \|x-y\| + \Bigr\|y - \frac y{\|y\|}\Bigr\| = \|x-y\| + \|y\| - 1 \le \|x-y\| + \|y\| - \|x\| \le 2\|x-y\|$ .

Pour $1 < \|x\| \le \|y\|$ on a $\|f(x) - f(y)\| \le \Bigl\|\frac x{\|x\|} - \frac y{\|x\|}\Bigr\| + \Bigl\|\frac y{\|x\|} - \frac y{\|y\|}\Bigr\| \le \frac{\|x-y\| + \|y\| - \|x\|}{\|x\|} \le \frac{2\|x-y\|}{\|x\|}$ .

Remarque : dans le cas où la norme est euclidienne, $f(x)$ est le projeté de $x$ sur la boule unité, c’est-à-dire le point de la boule unité le plus proche de $x$ . Dans ce cas, $f$ est $1$ -lipschitzienne. Dans le cas d’une norme non euclidienne on peut avoir $\|f(x)-f(y)\| > \|x-y\|$ , par exemple avec $x=(1,1)$ et $y=(\frac12,\frac32)$ dans $\R^2$ pour $\|\ \|_\infty$ .

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