Pour \(\|x\| \le 1\) et \(\|y\| \le 1\) on a \(\|f(x)-f(y)\| = \|x-y\|\).

Pour \(\|x\| \le 1< \|y\|\) on a \(\|f(x)-f(y)\| \le \|x-y\| + \Bigr\|y - \frac y{\|y\|}\Bigr\| = \|x-y\| + \|y\| - 1 \le \|x-y\| + \|y\| - \|x\| \le 2\|x-y\|\).

Pour \(1 < \|x\| \le \|y\|\) on a \(\|f(x) - f(y)\| \le \Bigl\|\frac x{\|x\|} - \frac y{\|x\|}\Bigr\| + \Bigl\|\frac y{\|x\|} - \frac y{\|y\|}\Bigr\| \le \frac{\|x-y\| + \|y\| - \|x\|}{\|x\|} \le \frac{2\|x-y\|}{\|x\|}\).

Remarque : dans le cas où la norme est euclidienne, \(f(x)\) est le projeté de \(x\) sur la boule unité, c’est-à-dire le point de la boule unité le plus proche de \(x\). Dans ce cas, \(f\) est \(1\)-lipschitzienne. Dans le cas d’une norme non euclidienne on peut avoir \(\|f(x)-f(y)\| > \|x-y\|\), par exemple avec \(x=(1,1)\) et \(y=(\frac12,\frac32)\) dans \(\R^2\) pour \(\|\ \|_\infty\).

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