Les formes linéaires \(P \mapsto P(0)\), \(P \mapsto P(1)\) et \(P \mapsto P(2)\) constituent une base de \(E_2^*\) donc engendrent les formes linéaires \(P \mapsto P'(1)\), \(P \mapsto P'(2)\) et \(P \mapsto P'(3)\). Après calculs, on trouve : \[\forall\ P\in E_2,\quad \left\{\begin{aligned}2P'(1) &= &P(2) & & &-&P(0)\cr 2P'(2) &= &3P(2) &-&4P(1) &+&P(0)\cr 2P'(3) &= &5P(2) &-&8P(1) &+&3P(0).\cr \end{aligned}\right.\] En notant \(P(0) = a\), \(P(1) = b\) et \(P(2) = c\) on doit donc chercher : \[\|\hskip-1pt|\varphi\|\hskip-1pt| =\frac12\sup\{|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|,\text{ tq }|a|+|b|+|c|\le1\}.\] La fonction \(f\) : \((a,b,c) \mapsto|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|\) est convexe donc son maximum sur l’icosaèdre \(I = \{(a,b,c)\text{ tq }|a|+|b|+|c|\le 1\}\) est atteint en l’un des sommets \((\pm1,0,0)\), \((0,\pm1,0)\), \((0,0,\pm1)\).

Finalement, \(\|\hskip-1pt|\varphi\|\hskip-1pt| = \frac12f(0,1,0) = 44\).

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