Les formes linéaires $P \mapsto P(0)$ , $P \mapsto P(1)$ et $P \mapsto P(2)$ constituent une base de $E_2^*$ donc engendrent les formes linéaires $P \mapsto P'(1)$ , $P \mapsto P'(2)$ et $P \mapsto P'(3)$ . Après calculs, on trouve : $\forall\ P\in E_2,\quad \left\{\begin{aligned}2P'(1) &= &P(2) & & &-&P(0)\cr 2P'(2) &= &3P(2) &-&4P(1) &+&P(0)\cr 2P'(3) &= &5P(2) &-&8P(1) &+&3P(0).\cr \end{aligned}\right.$ En notant $P(0) = a$ , $P(1) = b$ et $P(2) = c$ on doit donc chercher : $\|\hskip-1pt|\varphi\|\hskip-1pt| =\frac12\sup\{|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|,\text{ tq }|a|+|b|+|c|\le1\}.$ La fonction $f$ : $(a,b,c) \mapsto|c-a| + 4|3c-4b+a| + 9|5c-8b+3a|$ est convexe donc son maximum sur l’icosaèdre $I = \{(a,b,c)\text{ tq }|a|+|b|+|c|\le 1\}$ est atteint en l’un des sommets $(\pm1,0,0)$ , $(0,\pm1,0)$ , $(0,0,\pm1)$ .

Finalement, $\|\hskip-1pt|\varphi\|\hskip-1pt| = \frac12f(0,1,0) = 44$ .

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