L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPI 3 questions

exo7 4833

Soit EE un espace vectoriel normé, (Kn)(K_n) une suite décroissante de compacts non vides de EE et K=⋂nKnK = \bigcap_n K_n.

1

Montrer que K≠∅K \ne \varnothing.

2

Soit UU un ouvert contenant KK. Montrer qu’il existe nn tel que Kn⊂UK_n \subset U.

3

Montrer que δ(K)=lim⁡n→∞δ(Kn)\delta(K) = \lim_{n\to\infty} \delta(K_n) (δ\delta est le diamètre).

Exercice f5at

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