Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application \(N : E \to {\R^+}\) telle que : \[\begin{aligned}(i) \qquad&\forall\ \lambda,x,\ \ N(\lambda x) = |\lambda|N(x)\ ;\cr (ii) \qquad&\forall\ x,\ N(x)=0 \Leftrightarrow x=0.\cr\end{aligned}\]
1
Montrer que \(N\) est une norme si et seulement \(B = \{x\) tq. \(N(x)\le 1\}\) est convexe.
2
Montrer que si \(N\) vérifie aussi \[\begin{aligned} (iii) \qquad&\forall\ x,y,\ N(x+y)^2 \le 2N(x)^2 + 2N(y)^2\cr\end{aligned}\] alors c’est une norme.