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Soit $E$ un espace vectoriel réel. On considère une application $N : E \to {\R^+}$ telle que : $\begin{aligned}(i) \qquad&\forall\ \lambda,x,\ \ N(\lambda x) = |\lambda|N(x)\ ;\cr (ii) \qquad&\forall\ x,\ N(x)=0 \Leftrightarrow x=0.\cr\end{aligned}$

Montrer que $N$ est une norme si et seulement $B = \{x$ tq. $N(x)\le 1\}$ est convexe.

Montrer que si $N$ vérifie aussi $\begin{aligned} (iii) \qquad&\forall\ x,y,\ N(x+y)^2 \le 2N(x)^2 + 2N(y)^2\cr\end{aligned}$ alors c’est une norme.