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Soit $E=\C_d[X]$ normé par $\|P\| = \sum|a_i|$ , $P\in E$ de degré $d$ à racines simples et $P_n$ une suite de polynômes de $E$ convergeant vers $P$ .

Soit $z\in\C$ tel que $P(z) = 0$ et $\delta>0$ .

Montrer que pour $n$ assez grand, $P_n$ a au moins un zéro dans $\overline{B(z,\delta)}$ .

Montrer qu’il existe $\delta_0>0$ tel que pour tout $\delta\in{]0,\delta_0]}$ $P_n$ a exactement une racine dans $\overline{B(z,\delta)}$ si $n$ est assez grand.

Que peut-on dire si les zéros de $P$ ne sont plus supposés simples ?

exo7 4799

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