Soit \(E=\C_d[X]\) normé par \(\|P\| = \sum|a_i|\), \(P\in E\) de degré \(d\) à racines simples et \(P_n\) une suite de polynômes de \(E\) convergeant vers \(P\).
Soit \(z\in\C\) tel que \(P(z) = 0\) et \(\delta>0\).
1
Montrer que pour \(n\) assez grand, \(P_n\) a au moins un zéro dans \(\overline{B(z,\delta)}\).
2
Montrer qu’il existe \(\delta_0>0\) tel que pour tout \(\delta\in{]0,\delta_0]}\) \(P_n\) a exactement une racine dans \(\overline{B(z,\delta)}\) si \(n\) est assez grand.
3
Que peut-on dire si les zéros de \(P\) ne sont plus supposés simples ?