Supposons qu’il existe une famille \((\mathcal{C}_i = \mathcal{C}(a_i,R_i))_{i\in I}\) de cercles disjoints dont la réunion est égale au plan \(P\). On note \(D_i\) le disque fermé de frontière \(\mathcal{C}_i\). Soit \(i_0\in I\) choisi arbitrairement, \(i_1\) tel que \(a_{i_0}\in\mathcal{C}_{i_1}\), \(i_2\) tel que \(a_{i_1}\in\mathcal{C}_{i_2}\) etc. On a \(R_{i_k} < \frac12R_{i_{k-1}}\) donc la suite \((D_{i_k})\) vérifie le théorème des fermés emboités, l’intersection des \(D_{i_k}\) est réduite à un point \(x\) par lequel ne passe aucun cercle \(\mathcal{C}_j\).

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