On suppose \(P\) non constant, sans quoi le résultat est trivial. Soit \(S(X) = \sup(|P(x)|,\ x\in X)\). On a par inclusion et continuité : \(S(\mathrm{Fr}(U)) \le S(\overline U) = S(U)\). Soit \(x\in\overline U\) tel que \(|P(x)| = S(\overline U)\). On démontre par l’absurde que \(x\in\mathrm{Fr}(U)\), ce qui entraı̂ne l’égalité demandée. Supposons donc \(x\in U\) et soit \(n=\deg(P)\). Alors pour \(\rho>0\) suffisament petit, et \(\theta\in\R\), on a \(x+\rho e^{i\theta}\in U\) et : \[P(x+\rho e^{i\theta}) = P(x) + \rho e^{i\theta}P'(X) + \dots + \frac{\rho^n e^{in\theta}}{n!}P^{(n)}(x).\] avec \(P^{(n)}(x) = P^{(n)} \ne 0\). On en déduit : \[2\pi |P(x)| = \Bigl| \int_{\theta=0}^{2\pi} P(x+\rho e^{i\theta})\,d \theta\Bigr| \le \int_{\theta=0}^{2\pi} |P(x+\rho e^{i\theta})|\,d \theta \le 2\pi\, S(U) = 2\pi|P(x)|.\] On en déduit que les inégalités sont des égalités, et en particulier que la quantité \(|P(x+\rho e^{i\theta})|\) est indépendante de \(\rho\) et \(\theta\). Il y a contradiction car \(|P(x+\rho e^{i\theta})|^2\) est un polynôme de degré \(2n\) en \(\rho\).

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