On suppose $P$ non constant, sans quoi le résultat est trivial. Soit $S(X) = \sup(|P(x)|,\ x\in X)$ . On a par inclusion et continuité : $S(\mathrm{Fr}(U)) \le S(\overline U) = S(U)$ . Soit $x\in\overline U$ tel que $|P(x)| = S(\overline U)$ . On démontre par l’absurde que $x\in\mathrm{Fr}(U)$ , ce qui entraı̂ne l’égalité demandée. Supposons donc $x\in U$ et soit $n=\deg(P)$ . Alors pour $\rho>0$ suffisament petit, et $\theta\in\R$ , on a $x+\rho e^{i\theta}\in U$ et : $P(x+\rho e^{i\theta}) = P(x) + \rho e^{i\theta}P'(X) + \dots + \frac{\rho^n e^{in\theta}}{n!}P^{(n)}(x).$ avec $P^{(n)}(x) = P^{(n)} \ne 0$ . On en déduit : $2\pi |P(x)| = \Bigl| \int_{\theta=0}^{2\pi} P(x+\rho e^{i\theta})\,d \theta\Bigr| \le \int_{\theta=0}^{2\pi} |P(x+\rho e^{i\theta})|\,d \theta \le 2\pi\, S(U) = 2\pi|P(x)|.$ On en déduit que les inégalités sont des égalités, et en particulier que la quantité $|P(x+\rho e^{i\theta})|$ est indépendante de $\rho$ et $\theta$ . Il y a contradiction car $|P(x+\rho e^{i\theta})|^2$ est un polynôme de degré $2n$ en $\rho$ .

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