Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que \(f(\vec x\,) \xrightarrow[\|\vec x\,\|\to\infty]{} +\infty\), c’est à dire : \[\forall\ A\in\R,\ \exists\ B\in\R\text{ tq } \forall\ \vec x\in E,\ \|\vec x\,\| \ge B \Rightarrow f(\vec x\,)\ge A.\]
On prend \(A = f(\vec 0)\) et \(B\) le nombre correspondant.
Montrer que \(\inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \vec x\in E\} = \inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \|\vec x\,\| \le B \}\).
En déduire que \(f\) admet un minimum.
Exemple : soit \(E = \R_n[X]\) et \(f : {[a,b]} \to \R\) bornée.
Montrer qu’il existe \(P\in E \text{ tq } \|f-P\|_\infty = \sup\{|f(t)-P(t)| \text{ tq } t\in{[a,b]} \}\) soit minimal (\(P\) est appelé : un polynôme de meilleure approximation de \(f\) sur \([a,b]\)).