L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 4792

Soit EE un evn de dimension finie et f:E→Rf : E \to\R continue. On suppose que f(x⃗ )→∥x⃗ ∥→∞+∞f(\vec x\,) \xrightarrow[\|\vec x\,\|\to\infty]{} +\infty, c’est à dire : ∀ A∈R, ∃ B∈R tq ∀ x⃗∈E, ∥x⃗ ∥≥B⇒f(x⃗ )≥A.\forall\ A\in\R,\ \exists\ B\in\R\text{ tq } \forall\ \vec x\in E,\ \|\vec x\,\| \ge B \Rightarrow f(\vec x\,)\ge A.

1

On prend A=f(0⃗)A = f(\vec 0) et BB le nombre correspondant.

Montrer que inf⁡{f(x⃗ ) tq x⃗∈E}=inf⁡{f(x⃗ ) tq ∥x⃗ ∥≤B}\inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \vec x\in E\} = \inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \|\vec x\,\| \le B \}.

2

En déduire que ff admet un minimum.

3

Exemple : soit E=Rn[X]E = \R_n[X] et f:[a,b]→Rf : {[a,b]} \to \R bornée.

Montrer qu’il existe P∈E tq ∥f−P∥∞=sup⁡{∣f(t)−P(t)∣ tq t∈[a,b]}P\in E \text{ tq } \|f-P\|_\infty = \sup\{|f(t)-P(t)| \text{ tq } t\in{[a,b]} \} soit minimal (PP est appelé : un polynôme de meilleure approximation de ff sur [a,b][a,b]).

Exercice kbkt

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