\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans \(\R\) continues et bornées sur \(\R\).
Pour \(p \in \N\) et \(f \in E\) on pose : \(N_{p}(f) = \sup\{|t^{p} e^{-|t|} f(t)|,\ t\in\R\}\).
1
Montrer que \(N_{p}\) est une norme sur \(E\).
2
Soit \(c \in \R\) et \({P_{c}} : E \to \R, f \mapsto {f(c).}\) Étudier la continuité de \(P_c\) sur \((E,N_p)\).
3
Montrer que, pour \(p\) et \(q\) distincts dans \(\N\), les normes \(N_p\) et \(N_q\) ne sont pas équivalentes.