L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 3 questions

exo7 4805

EE est l’ensemble des fonctions de R\R dans R\R continues et bornées sur R\R.

Pour p∈Np \in \N et f∈Ef \in E on pose : Np(f)=sup⁡{∣tpe−∣t∣f(t)∣, t∈R}N_{p}(f) = \sup\{|t^{p} e^{-|t|} f(t)|,\ t\in\R\}.

1

Montrer que NpN_{p} est une norme sur EE.

2

Soit c∈Rc \in \R et Pc:E→R,f↦f(c).{P_{c}} : E \to \R, f \mapsto {f(c).} Étudier la continuité de PcP_c sur (E,Np)(E,N_p).

3

Montrer que, pour pp et qq distincts dans N\N, les normes NpN_p et NqN_q ne sont pas équivalentes.

Exercice qUCI

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