Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que : \[\forall\ t\in I,\ \vec f(t) \ne \vec 0 \text{ et la famille } (\vec f(t),\vec f\,'(t)) \text{ est li{é}e}.\] On pose \(\vec g(t) = \frac{\vec f(t)}{\|\vec f(t)\|}\).
1
Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et que \(\vec g\,'(t)\) est à la fois orthogonal et colinéaire à \(\vec g(t)\).
2
En déduire que \(\vec f(t)\) garde une direction constante.
3
Chercher un contre-exemple lorsqu’on retire la propriété : \(\forall\ t\in I,\ \vec f(t) \ne \vec 0\).