OpenYourMath

Soit $E$ un evn de dimension finie et $f : E \to E$ une fonction $k$ -lipchitzienne avec $k < 1$ . On choisit ${\vec u}_0 \in E$ arbitrairement, et on considère la suite $({\vec u}_n)$ telle que pour tout $n$ : ${\vec u}_{n+1} = f({\vec u}_n)$ .

Montrer que $\|{\vec u}_{n+1} - {\vec u}_n\| \le k^n \|{\vec u}_1 - {\vec u}_0\|$ .

En déduire que la suite $({\vec u}_n)$ est de Cauchy.

Soit $\vec \ell = \lim({\vec u}_n)$ . Montrer que $\vec \ell$ est l’unique solution dans $E$ de l’équation $f(\vec x\,) = \vec x$ .

exo7 4797

Signaler une erreur