Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to E\) une fonction \(k\)-lipchitzienne avec \(k < 1\). On choisit \({\vec u}_0 \in E\) arbitrairement, et on considère la suite \(({\vec u}_n)\) telle que pour tout \(n\) : \({\vec u}_{n+1} = f({\vec u}_n)\).
1
Montrer que \(\|{\vec u}_{n+1} - {\vec u}_n\| \le k^n \|{\vec u}_1 - {\vec u}_0\|\).
2
En déduire que la suite \(({\vec u}_n)\) est de Cauchy.
3
Soit \(\vec \ell = \lim({\vec u}_n)\). Montrer que \(\vec \ell\) est l’unique solution dans \(E\) de l’équation \(f(\vec x\,) = \vec x\).