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On suppose d’abord que pour tout couple $(a,b)$ de points de $P$ il existe une ligne polygonale incluse dans $P$ qui joint $a$ et $b$. Supposons que $P$ n’est pas connexe. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints $A$ et $B$, un point $a$ de $A$, un point $b$ de $B$ tel que le segment $[ab]$ soit inclus dans $P$.

Noter $$\begin{aligned} \alpha&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in A\}\\ \beta&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in B\}\\ \end{aligned}$$ Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont non vides ouverts et disjoints et utiliser la connexité de $[0,1]$ pour obtenir une contradiction.

On suppose réciproquement que $P$ est connexe et on fixe un point $o$ de $P$. On considère $$A:=\{b\in P \text{ il y a une ligne polygonale incluse dans } P \text{ qui joint } o \text{ et } b.\}.$$ Montrer que $A$ est ouvert dans $P$, en montrant que pour tout point $b$ de $A$, il existe une boule $B(b,\epsilon)$ incluse dans $A$.

Avec les notations précédentes, montrer que $P-A$ est ouvert dans $P$, en montrant que pour tout point $z$ de $P-A$ et toute boule $B(z,\epsilon)$ incluse dans $P$, $B(z,\epsilon)$ est incluse dans $P-A$.

Conclure.