Le but de cet exercice est de montrer qu’une partie \(P\) ouverte de \(\Cc\) est connexe si et seulement si pour tout couple \((a,b)\) de points de \(P\) il existe une ligne polygonale incluse dans \(P\) qui joint \(a\) et \(b\).
On suppose d’abord que pour tout couple \((a,b)\) de points de \(P\) il existe une ligne polygonale incluse dans \(P\) qui joint \(a\) et \(b\). Supposons que \(P\) n’est pas connexe. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints \(A\) et \(B\), un point \(a\) de \(A\), un point \(b\) de \(B\) tel que le segment \([ab]\) soit inclus dans \(P\).
Noter \[\begin{aligned} \alpha&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in A\}\\ \beta&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in B\}\\ \end{aligned}\] Montrer que \(\alpha\) et \(\beta\) sont non vides ouverts et disjoints et utiliser la connexité de \([0,1]\) pour obtenir une contradiction.
On suppose réciproquement que \(P\) est connexe et on fixe un point \(o\) de \(P\). On considère \[A:=\{b\in P \text{ il y a une ligne polygonale incluse dans } P \text{ qui joint } o \text{ et } b.\}.\] Montrer que \(A\) est ouvert dans \(P\), en montrant que pour tout point \(b\) de \(A\), il existe une boule \(B(b,\epsilon)\) incluse dans \(A\).
Avec les notations précédentes, montrer que \(P-A\) est ouvert dans \(P\), en montrant que pour tout point \(z\) de \(P-A\) et toute boule \(B(z,\epsilon)\) incluse dans \(P\), \(B(z,\epsilon)\) est incluse dans \(P-A\).
Conclure.