On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par \(\forall f\in E\), \(\|f\|_1=\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt\).
On pose \(\begin{array}[t]{cccl} T~:&E&\rightarrow&\rule{1.5mm}{0mm}E\\ &f&\mapsto&\begin{array}[t]{cccc}Tf~:&[0,1]&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\int_{0}^{x}f(t)\;dt \end{array} \end{array}\) et on admet que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).
1
Démontrer que \(T\) est continu sur \((E,\|\;\|_1)\) et déterminer \(|||T|||\).
2
Vérifier que la borne supérieure n’est pas atteinte.