exo7 1764

Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$.

Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est fermé. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.)

Montrer que l’application qui à $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypothèse sur $A$).

En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$

Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.