Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d’un élément \(x_0\) de \(E\) à une partie \(A\) de \(E\), notée \(d(x_0,A)\), par la formule \[d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.\]
Supposons \(A\) compact. Montrer que pour tout \(x_0\in E\) il existe \(y\in A\) tel que \(d(x_0,A)=\|y-x_0\|\).
Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que \(A\) est fermé. (On remarquera que pour toute partie \(B\) de \(A\) on a \(d(x_0,B)\ge d(x_0,A)\).)
Montrer que l’application qui à \(x_0\) associe \(d(x_0,A)\) est continue sur \(E\) (sans aucune hypothèse sur \(A\)).
En déduire que si \(A\) est un fermé de \(E\) et \(B\) un compact de \(E\) tels que \(A\) et \(B\) sont disjoints, alors il existe une constante \(\delta>0\) telle que \[\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.\]
Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que \(A\) et \(B\) sont deux fermés disjoints.