Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\). On rappelle que la frontière de \(A\) est l’ensemble \(\mathrm{Fr}(A)=\bar A- \stackrel{\circ}{A}\). Montrer que :
1
\(\mathrm{Fr}(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \text{\ et\ } B(x,\epsilon)\cap C_A\neq\emptyset\}\)
2
\(\mathrm{Fr}(A)=\mathrm{Fr}(C_A)\)
3
\(A\) est fermé si et seulement si \(\mathrm{Fr}(A)\) est inclus dans \(A\).
4
\(A\) est ouvert si et seulement si \(\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset\).