L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPI 4 questions

exo7 1757

Soit AA une partie d’un espace vectoriel normé EE. On rappelle que la frontière de AA est l’ensemble Fr(A)=Aˉ−A∘\mathrm{Fr}(A)=\bar A- \stackrel{\circ}{A}. Montrer que :

1

Fr(A)={x∈E∣∀ϵ>0,B(x,ϵ)∩A≠∅ et B(x,ϵ)∩CA≠∅}\mathrm{Fr}(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \text{\ et\ } B(x,\epsilon)\cap C_A\neq\emptyset\}

2

Fr(A)=Fr(CA)\mathrm{Fr}(A)=\mathrm{Fr}(C_A)

3

AA est fermé si et seulement si Fr(A)\mathrm{Fr}(A) est inclus dans AA.

4

AA est ouvert si et seulement si Fr(A)∩A=∅\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset.

Exercice XC3b

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