Soit $u = (u_n)_{n\in\Nn}$ une suite bornée de l’espace normé $(E,\|\;\|)$ ayant une unique valeur d’adhérence que l’on note $\ell$ . Montrons que la suite $u$ converge vers $\ell$ .

Supposons par l’absurde que la suite $u$ ne converge pas vers $\ell$ . Donc

$\exists\varepsilon>0/\;\forall n_0\in\Nn,\;\exists n\geqslant n_0/\;\|u_n-\ell\|\geqslant\varepsilon$ $(*)$ .

$\varepsilon$ est ainsi dorénavant fixé.

En appliquant $(*)$ à $n_0 = 0$ , il existe un rang $\varphi(0)\geqslant n_0 = 0$ tel que $\|u_{\varphi(0)}-\ell\|\geqslant\varepsilon$ .

Puis en prenant $n_0=\varphi(0)+1$ , il existe un rang $\varphi(1)>\varphi(0)$ tel que $\|u_{\varphi(1)}-\ell\|\geqslant\varepsilon$ ... et on construit ainsi par récurrence une suite extraite $(u_{\varphi(n)})_{n\in\Nn}$ telle que $\forall n\in\Nn$ , $\|u_{\varphi(n)}-\ell\|\geqslant\varepsilon$ .

Maintenant, la suite $u$ est bornée et il en est de même de la suite $(u_{\varphi(n)})$ . Puisque $E$ est de dimension finie, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’affirmer qu’il existe une suite $(u_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ extraite de $(u_{\varphi(n)})$ et donc de $u$ convergeant vers un certain $\ell'\in E$ . $\ell'$ est donc une valeur d’adhérence de la suite $u$ . Mais quand $n$ tend vers $+\infty$ dans l’inégalité $\|u_{\psi(n)}-\ell\|\geqslant\varepsilon$ , on obtient $\|\ell'-\ell\|\geqslant\varepsilon$ et donc $\ell\neq\ell'$ . Ceci constitue une contradiction et donc $u$ converge vers $\ell$ .

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