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Soit $f$ l’application affine par morceaux, de $\R$ dans $\R$, définie par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} 0&\mbox{ si }&x\leq -2\\ 1+x&\mbox{ si }&-2<x<0\\ x&\mbox{ si }&0\leq x\leq 1\\ 1&\mbox{ si }&x>1. \end{array} \right.$$ Soient $A=[-1,0[$ et $B=[0,2[$. Déterminer $f(A)$, $f^{-1}(B)$, $f(\R\setminus A)$, $f^{-1}(f(A))$, $f(f^{-1}(B))$, $f(A\cap B)$, et $f(A)\cap f(B)$.

Soient deux ensembles $E$ et $F$, et $f:E\rightarrow F$ une application. Comparer les ensembles $f(A\cap B)$ et $f(A)\cap f(B)$, $f^{-1}(f(A))$ et $A$, $f(f^{-1}(B))$ et $B$, $f(E\setminus A)$ et $F\setminus f(A)$.