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On munit \(E =\ell^\infty(\Cc)\) le \(\Cc\)-espace vectoriel des suites bornées de la norme \(\|u\|_\infty=\underset{n\in\Nn}{\text{sup}}\;|u_n|\).
On considère les endomorphismes \(\Delta\) et \(C\) de \(\ell^\infty(\Cc)\) définis par :
\(\forall u\in E\), \(\Delta(u) = v\) où \(\forall n\in\Nn\), \(v_n = u_{n+1}-u_n\) et \(\forall u\in E\), \(C(u)=w\) où \(\forall n\in\Nn\), \(w_n= \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k\).
Montrer que \(\Delta\) et \(C\) sont continus sur \((E,\|\;\|_\infty)\) et calculer leur norme.