Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) et on note \(\rho(f) = \sup\{|\lambda|\text{ tq }\lambda\in\mathrm{Sp}(f)\}\) (rayon spectral de \(f\)). Soit \(\nu\) une norme sur \(\mathcal{L}(E)\).
1
Montrer que \(\rho(f)\le \lim_{p\to\infty}(\nu(f^p)^{1/p})\). On pourra pour commencer supposer que \(\nu\) est la norme subordonnée à une norme sur \(E\).
2
Montrer que si \(f\) est diagonalisable l’inégalité précédente est une égalité.
3
Étudier le cas général.