L2 Analyse Topologie Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 4821

Soit EE un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ff de EE et on note ρ(f)=sup⁡{∣λ∣ tq λ∈Sp(f)}\rho(f) = \sup\{|\lambda|\text{ tq }\lambda\in\mathrm{Sp}(f)\} (rayon spectral de ff). Soit ν\nu une norme sur L(E)\mathcal{L}(E).

1

Montrer que ρ(f)≤lim⁡p→∞(ν(fp)1/p)\rho(f)\le \lim_{p\to\infty}(\nu(f^p)^{1/p}). On pourra pour commencer supposer que ν\nu est la norme subordonnée à une norme sur EE.

2

Montrer que si ff est diagonalisable l’inégalité précédente est une égalité.

3

Étudier le cas général.

Exercice ESW3

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