On procède par récurrence sur $n=\dim E$ . Pour $n=1$ , en confondant $E$ et $\R$ , $C$ est un intervalle dense, c’est $\R$ . Pour $n\ge 2$ , soit $E = H\oplus{<a>}$ où $H$ est un hyperplan de $E$ . On montre ci-dessous que $C' = C \cap H$ est une partie de $H$ convexe et dense, donc égale à $H$ , d’où $H\subset C$ et ce pour tout $H$ . Ainsi $C=E$ .

Densité de $C'$ : soit $x\in H$ , et $(y_k)$ , $(z_k)$ des suites d’éléments de $C$ convergeant respectivement vers $x+a$ et $x-a$ . On écrit $y_k = y'_k + \lambda_ka$ et $z_k = z'_k + \mu_ka$ avec $y'_k,z'_k\in H$ et $\lambda_k,\mu_k\in\R$ . Par équivalence des normes en dimension finie, on a $\lambda_k\xrightarrow[k\to\infty]{}1$ et $\mu_k\xrightarrow[k\to\infty]{}-1$ , donc le point $x_k = \frac{\lambda_kz_k-\mu_ky_k}{\lambda_k-\mu_k}$ est bien défini et appartient à $C'$ pour $k$ assez grand, et converge vers $x$ .

Remarque : Si $E$ est de dimension infinie, alors il contient des hyperplans non fermés, donc des parties strictes, convexes denses.

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