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$E$ est l’ensemble des fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0,1]$ telles que $f(0) = f'(0) =0$ . Pour $f \in E$ , on pose :

$\begin{aligned} N_{\infty}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}, \\ N(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x) + f''(x)|}, \\ N_{1}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f''(x)|} + \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}. \end{aligned}$

Montrer que $N_{\infty}$ , $N$ et $N_{1}$ sont des normes sur $E$ .

Montrer que $N_{\infty}$ n’est équivalente ni à $N_{1}$ ni à $N$ .

Montrer que $N$ et $N_{1}$ sont équivalentes (introduire l’équation différentielle $y'' + y = g$ ).

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