\(E\) est l’ensemble des fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0,1]\) telles que \(f(0) = f'(0) =0\). Pour \(f \in E\), on pose :
\[\begin{aligned} N_{\infty}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}, \\ N(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x) + f''(x)|}, \\ N_{1}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f''(x)|} + \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}. \end{aligned}\]
1
Montrer que \(N_{\infty}\), \(N\) et \(N_{1}\) sont des normes sur \(E\).
2
Montrer que \(N_{\infty}\) n’est équivalente ni à \(N_{1}\) ni à \(N\).
3
Montrer que \(N\) et \(N_{1}\) sont équivalentes (introduire l’équation différentielle \(y'' + y = g\)).