Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et \(f : A \to A\) telle que : \(\forall\ x,y \in A,\ d(f(x),f(y)) \ge d(x,y)\).
1
Soit \(a \in A\) et \((a_n)\) la suite définie par : \(a_0 = a\), \(a_{n+1} = f(a_n)\). Montrer que \(a\) est valeur d’adhérence de la suite \((a_n)\).
2
Soient \(a,b \in A\). Montrer que \(d(f(a),f(b)) = d(a,b)\).
3
Montrer que \(f(A) = A\).