Le sens \(H\) est fermé \(\Rightarrow\) \(E\setminus H\) n’est pas connexe (par arcs) est évident. Réciproquement, si \(H\) n’est pas fermé alors \(\overline H = E\). Soient \(a,b\in E\setminus H\) et \((x_n)\) une suite d’éléments de \(H\) telle que \(x_0 = 0\) et \(x_n\xrightarrow[n\to\infty]{}a-b\). On définit un arc continu \(\varphi : {[0,1]} \to {E\setminus H}\) reliant \(a\) à \(b\) par : \(\varphi\) est affine sur \([\frac1{n+2},\frac1{n+1}]\), \(\varphi(\frac1{n+1})=b+x_n\) et \(\varphi(0)=a\).

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