Soit \(E = {\cal C}([0,2\pi])\) muni de la norme \(\|.\|_2\). Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(nx)\).
1
Calculer \(\|f_n-f_p\|_2\) pour \(n,p \in \N\).
2
En déduire que \(\overline B(0,1)\) n’est pas compacte.
Soit \(E = {\cal C}([0,2\pi])\) muni de la norme \(\|.\|_2\). Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(nx)\).
Calculer \(\|f_n-f_p\|_2\) pour \(n,p \in \N\).
En déduire que \(\overline B(0,1)\) n’est pas compacte.