Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) bornées et \(F\) le sev des suites telles que la série de terme général \(|u_n|\) converge. Pour \(u \in E\), on pose \(\|u\|_\infty = \sup\limits_n |u_n|\) et pour \(u \in F\) : \(\|u\|_1 = \sum\limits_n |u_n|\).
Soit \(a \in E\) et \(f : E \to E, u \mapsto {au = (a_nu_n).}\)
1
Montrer que \(f\) est une application linéaire continue de \(E\) dans \(E\) et calculer sa norme.
2
Montrer que \(F\) est stable par \(f\) et calculer la norme de \(f_{|F}\) quand on prend la norme \(\|\ \|_1\) sur \(F\).