Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour \(x\in\R^n\) : \(d_A(x) = \inf\{\|x-y\|\text{ tq }y\in A\}\).
1
Montrer que \(d_A\) est continue.
2
Soient deux parties de \(\R^n\) non vides \(A,B\). Donner une condition équivalente à \(d_A=d_B\).
3
On note \(\rho(A,B) = \sup\{|d_A(y)-d_B(y)|,\ y\in\R^n\}\), valant éventuellement \(+\infty\).
Montrer que l’on a \(\rho(A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x\in A} d_B(x),\ \sup\limits_{x\in B} d_A(x)\Bigr)\).