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Soit $A$ une partie de $\R^n$ non vide. On note pour $x\in\R^n$ : $d_A(x) = \inf\{\|x-y\|\text{ tq }y\in A\}$ .

Montrer que $d_A$ est continue.

Soient deux parties de $\R^n$ non vides $A,B$ . Donner une condition équivalente à $d_A=d_B$ .

On note $\rho(A,B) = \sup\{|d_A(y)-d_B(y)|,\ y\in\R^n\}$ , valant éventuellement $+\infty$ .

Montrer que l’on a $\rho(A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x\in A} d_B(x),\ \sup\limits_{x\in B} d_A(x)\Bigr)$ .