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Soit $E = \R[X]$. Pour $P = \sum_{k=0}^n a_kX^k$, on pose : $$\begin{aligned} \|P\|_1 &= \sum_{k=0}^n|a_k|, \\ \|P\|_\infty &= \max\{|a_0|,\dots,|a_n|\}, \\ \|P\|_* &= \max\{|P(t)| \text{ tq } 0 \le t \le 1\}. \end{aligned}$$

Montrer que ce sont des normes, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. (On considèrera $P_n(t) = (t-1)^n$ et $Q_n(t) = 1 + t + t^2 + \dots + t^n$)