Pour \(\|\;\|_1\). Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) puis \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\).

\[\begin{align*}\ensuremath \|AX\|_1&=\sum_{i=1}^{n}\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j\right|\\ &\leqslant\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}||x_j|\right)=\sum_{j=1}^{n}|x_j|\left(\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|\right)\\ &\leqslant\left(\sum_{j=1}^{n}|x_j|\right)\text{Max}\left\{\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}=\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}\times\|X\|_1, \end{align*}\]

en notant \(C_1\),…, \(C_n\) les colonnes de la matrice \(A\). Donc, \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(|||A|||_1\leqslant\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}\).

Soit alors \(j_0\in\llbracket1,n\rrbracket\) tel que \(\|C_{j_0}\|_1=\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}\). On note \(X_0\) le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles sauf la \(j_0\)-ème qui est égale à \(1\). \(X_0\) est un vecteur non nul tel que

\(\|AX_0\|_1=\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j_0}|=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\times\|X_0\|_1\).

En résumé,

(1) \(\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|AX\|_1}{\|X\|_1}\leqslant\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\),

(2) \(\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|AX_0\|_1}{\|X_0\|_1}=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\).

On en déduit que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(|||A|||_1=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\).

Pour \(\|\;\|_\infty\). Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) puis \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\). Pour \(i\in\llbracket1,n\rrbracket\),

\[\begin{align*}\ensuremath |(AX)_i|&=\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j\right|\leqslant\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}||x_j|\leqslant\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|\right)\|X\|_\infty\\ &\leqslant\text{Max}\left\{\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\|X\|_\infty=\text{Max}\{\|L_k\|_1,\;1\leqslant k\leqslant n\}\times\|X\|_\infty, \end{align*}\]

en notant \(L_1\),…, \(L_n\) les lignes de la matrice \(A\). Donc, \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(|||A|||_\infty\leqslant\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}\).

Soit alors \(i_0\in\llbracket1,n\rrbracket\) tel que \(\|L_{i_0}\|_1=\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}\). On pose \(X_{0}=\left(\varepsilon_i\right)_{1\leqslant i\leqslant n}\) où \(\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket\), \(\varepsilon_j\) est un élément de \(\{-1,1\}\) tel que \(a_{i_0,j}=\varepsilon_j|a_{i_0,j}|\) (par exemple, \(\varepsilon_j= \frac{a_{i_0,j}}{|a_{i_0,j}|}\) si \(a_{i_0,j}\neq0\) et \(\varepsilon_j=1\) si \(a_{i_0,j}=1\)).

\[\begin{align*}\ensuremath \|AX_0\|_\infty&=\text{Max}\left\{\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\varepsilon_j\right|,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\\ &\geqslant\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i_0,j}\varepsilon_j\right|=\sum_{j=1}^{n}|a_{i_0,j}|=\|L_{i_0}\|_1 =\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}\times\|X_0\|_\infty. \end{align*}\]

En résumé,

(1) \(\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|AX\|_\infty}{\|X\|_\infty}\leqslant\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\),

(2) \(\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|AX_0\|_\infty}{\|X_0\|_\infty}\geqslant\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\).

On en déduit que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(|||A|||_\infty=\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\).

Ainsi, en notant \(C_1\),…, \(C_n\) et \(L_1\),…, \(L_n\) respectivement les colonnes et les lignes d’une matrice \(A\),

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