Pour $\|\;\|_1$ . Soient $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ puis $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ .

$\begin{align*}\ensuremath \|AX\|_1&=\sum_{i=1}^{n}\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j\right|\\ &\leqslant\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}||x_j|\right)=\sum_{j=1}^{n}|x_j|\left(\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|\right)\\ &\leqslant\left(\sum_{j=1}^{n}|x_j|\right)\text{Max}\left\{\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j}|,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}=\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}\times\|X\|_1, \end{align*}$

en notant $C_1$ ,…, $C_n$ les colonnes de la matrice $A$ . Donc, $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $|||A|||_1\leqslant\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}$ .

Soit alors $j_0\in\llbracket1,n\rrbracket$ tel que $\|C_{j_0}\|_1=\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}$ . On note $X_0$ le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles sauf la $j_0$ -ème qui est égale à $1$ . $X_0$ est un vecteur non nul tel que

$\|AX_0\|_1=\sum_{i=1}^{n}|a_{i,j_0}|=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}\times\|X_0\|_1$ .

En résumé,

(1) $\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|AX\|_1}{\|X\|_1}\leqslant\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}$ ,

(2) $\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|AX_0\|_1}{\|X_0\|_1}=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}$ .

On en déduit que $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $|||A|||_1=\text{Max}\left\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}$ .

Pour $\|\;\|_\infty$ . Soient $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ puis $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ . Pour $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ ,

$\begin{align*}\ensuremath |(AX)_i|&=\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j\right|\leqslant\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}||x_j|\leqslant\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|\right)\|X\|_\infty\\ &\leqslant\text{Max}\left\{\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\|X\|_\infty=\text{Max}\{\|L_k\|_1,\;1\leqslant k\leqslant n\}\times\|X\|_\infty, \end{align*}$

en notant $L_1$ ,…, $L_n$ les lignes de la matrice $A$ . Donc, $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $|||A|||_\infty\leqslant\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}$ .

Soit alors $i_0\in\llbracket1,n\rrbracket$ tel que $\|L_{i_0}\|_1=\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}$ . On pose $X_{0}=\left(\varepsilon_i\right)_{1\leqslant i\leqslant n}$ où $\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket$ , $\varepsilon_j$ est un élément de $\{-1,1\}$ tel que $a_{i_0,j}=\varepsilon_j|a_{i_0,j}|$ (par exemple, $\varepsilon_j= \frac{a_{i_0,j}}{|a_{i_0,j}|}$ si $a_{i_0,j}\neq0$ et $\varepsilon_j=1$ si $a_{i_0,j}=1$ ).

$\begin{align*}\ensuremath \|AX_0\|_\infty&=\text{Max}\left\{\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\varepsilon_j\right|,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}\\ &\geqslant\left|\sum_{j=1}^{n}a_{i_0,j}\varepsilon_j\right|=\sum_{j=1}^{n}|a_{i_0,j}|=\|L_{i_0}\|_1 =\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}\times\|X_0\|_\infty. \end{align*}$

En résumé,

(1) $\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|AX\|_\infty}{\|X\|_\infty}\leqslant\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}$ ,

(2) $\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|AX_0\|_\infty}{\|X_0\|_\infty}\geqslant\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\right\}$ .

On en déduit que $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $|||A|||_\infty=\text{Max}\left\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\right\}$ .

Ainsi, en notant $C_1$ ,…, $C_n$ et $L_1$ ,…, $L_n$ respectivement les colonnes et les lignes d’une matrice $A$ ,

$\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $|||A|||_1=\text{Max}\{\|C_j\|_1,\;1\leqslant j\leqslant n\}$ et $|||A|||_\infty=\text{Max}\{\|L_i\|_1,\;1\leqslant i\leqslant n\}$ .

exo7 5862