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On munit $E=\Rr[X]$ de la norme $\|\;\|_\infty$ définie par : $\forall P\in E$ , $\|P\|_\infty=\text{Sup}\left\{\left| \frac{P^{(n)}(0)}{n!}\right|,\;n\in\Nn\right\}$ .

Vérifier brièvement que $\|\;\|_\infty$ est une norme sur $E$ .

Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ défini par $\forall P\in E$ , $f(P)=XP$ . Démontrer que l’application $f$ est continue sur $(E,\|\;\|_\infty)$ et déterminer $|||f|||$ .