On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : \(\forall P\in E\), \(\|P\|_\infty=\text{Sup}\left\{\left| \frac{P^{(n)}(0)}{n!}\right|,\;n\in\Nn\right\}\).
1
Vérifier brièvement que \(\|\;\|_\infty\) est une norme sur \(E\).
2
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(E\) défini par \(\forall P\in E\), \(f(P)=XP\). Démontrer que l’application \(f\) est continue sur \((E,\|\;\|_\infty)\) et déterminer \(|||f|||\).