Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(|||u |||= \sup(\|u(\vec x)\| \text{ tq } \|\vec x\,\| = 1)\).
1
Montrer que \(\N u \N\) existe et que c’est un maximum.
2
Montrer que \(\N\;.\;\N\) est une norme sur \(\mathcal{L}(E)\) (appelée : norme linéaire associée à \(\|\;.\;\|\)).
3
Montrer que : \(\forall\ \vec x \in E,\ \|u(\vec x)\| \le \N u \N \times \|\vec x\,\|\).
4
En déduire que : \(\forall\ u,v \in \mathcal{L}(E),\ \N u\circ v \N \le \N u \N \times \N v \N\).