Soit \(\varphi : {[a,b]} \to {\R^2}, t \mapsto {M_t}\) une courbe paramétrée de classe \(\mathcal{C}^1\) de longueur non nulle. Le centre de gravité de la courbe est le point \(G\) tel que \(\int_{t=a}^b \vec{GM_t}\|\vec M\,'(t)\|\,dt = \vec 0\).
Montrer l’existence et l’unicité de \(G\).
Déterminer le centre de gravité d’un demi-cercle. (On admet que \(G\) est indépendant du paramétrage)
Montrer que \(G\) appartient à l’enveloppe convexe de la courbe.
Montrer que si la courbe admet un axe de symétrie, \(\Delta\), alors \(G \in \Delta\). (Si \(\sigma\) est la symétrie associée, considérer la courbe décrite par \(N_t = \sigma(M_t)\))
Soit \(\Phi : {\R^2} \to {\R^2}\) une isométrie affine. Montrer que si \(G\) est le centre de gravité de \(\mathcal{C}\), alors \(\Phi(G)\) est le centre de gravité de \(\Phi(\mathcal{C})\).