L2 Analyse Topologie 5 questions

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Soit φ:[a,b]→R2,t↦Mt\varphi : {[a,b]} \to {\R^2}, t \mapsto {M_t} une courbe paramétrée de classe C1\mathcal{C}^1 de longueur non nulle. Le centre de gravité de la courbe est le point GG tel que ∫t=abGMt⃗∥M⃗ ′(t)∥ dt=0⃗\int_{t=a}^b \vec{GM_t}\|\vec M\,'(t)\|\,dt = \vec 0.

1

Montrer l’existence et l’unicité de GG.

2

Déterminer le centre de gravité d’un demi-cercle. (On admet que GG est indépendant du paramétrage)

3

Montrer que GG appartient à l’enveloppe convexe de la courbe.

4

Montrer que si la courbe admet un axe de symétrie, Δ\Delta, alors G∈ΔG \in \Delta. (Si σ\sigma est la symétrie associée, considérer la courbe décrite par Nt=σ(Mt)N_t = \sigma(M_t))

5

Soit Φ:R2→R2\Phi : {\R^2} \to {\R^2} une isométrie affine. Montrer que si GG est le centre de gravité de C\mathcal{C}, alors Φ(G)\Phi(G) est le centre de gravité de Φ(C)\Phi(\mathcal{C}).

Exercice M63b

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