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Montrer que si $A$ est bornée, alors $\bar A$ et $\mathrm{Fr}(A)$ sont bornés.

Comparer $\mathrm{diam}(A)$, $\mathrm{diam}(\stackrel{\circ}{A})$ et $\mathrm{diam}(\bar A)$ lorsque $\stackrel{\circ}{A}$ est non vide.

Montrer que $\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) \le \mathrm{diam}(A)$.

Soit $x$ et $u$ des éléments de $A$ avec $u\neq 0$. On considère l’ensemble $X=\{t\ge 0 \mid x+tu\in A\}$. Montrer que $\sup X$ existe.

En déduire que toute demi-droite issue d’un point $x$ de $A$ coupe $\mathrm{Fr}(A)$.

En déduire que $\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) = \mathrm{diam} (A)$.