Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(E\). On définit \(\mathrm{diam}(A)=\sup \{\|y-x\|, x,y\in A\}\).
1
Montrer que si \(A\) est bornée, alors \(\bar A\) et \(\mathrm{Fr}(A)\) sont bornés.
2
Comparer \(\mathrm{diam}(A)\), \(\mathrm{diam}(\stackrel{\circ}{A})\) et \(\mathrm{diam}(\bar A)\) lorsque \(\stackrel{\circ}{A}\) est non vide.
3
Montrer que \(\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) \le \mathrm{diam}(A)\).
4
Soit \(x\) et \(u\) des éléments de \(A\) avec \(u\neq 0\). On considère l’ensemble \(X=\{t\ge 0 \mid x+tu\in A\}\). Montrer que \(\sup X\) existe.
5
En déduire que toute demi-droite issue d’un point \(x\) de \(A\) coupe \(\mathrm{Fr}(A)\).
6
En déduire que \(\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) = \mathrm{diam} (A)\).