L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 4818

Soit EE un R\R-evn et f∈E∗f \in E^*.

1

Montrer que ff est continue si et seulement si Kerf\mathrm{Ker} f est fermé (pour la réciproque : supposer Kerf\mathrm{Ker} f fermé, montrer que {x tq f(x)>0}\{x \text{ tq } f(x) > 0\} est ouvert, puis étudier {x tq −1<f(x)<1}\{ x \text{ tq } -1 < f(x) < 1\}).

2

On suppose ff continue. Soit x∈Ex \in E. Montrer que ∣f(x)∣=∥f∥d(x,Kerf)|f(x)| = \|f\|d(x,\mathrm{Ker} f).

Exercice Q4hp

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