Pour \(\alpha\in]0,\pi[\), posons \(f(\alpha) =\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|=\underset{n\in\Nn}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\).

Tout d’abord \(\forall\alpha\in]0,\pi[\), \(\forall n\in\Nn\), \(|\sin(n(\pi-\alpha))| = |\sin(n\alpha)|\) et donc \(\forall\alpha\in]0,\pi[\), \(f(\pi-\alpha) = f(\alpha)\).

On en déduit que \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}f(\alpha) =\underset{\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right]}{\text{Inf}}f(\alpha)\).

\(f\left( \frac{\pi}{3}\right)=\text{sup}\left\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right\}= \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ensuite, si \(\alpha\in\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]\), \(f(\alpha)\geqslant\sin(\alpha)\geqslant\sin\left( \frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}=f\left( \frac{\pi}{3}\right)\). Par suite \(\underset{\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right]}{\text{Inf}}f(\alpha)=\underset{\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{3}\right]}{\text{Inf}}f(\alpha)\).

Soit alors \(\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{3}\right]\). Montrons qu’il existe un entier naturel non nul \(n_0\) tel que \(n_0\alpha\in\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]\).

Il existe un unique entier naturel \(n_1\) tel que \(n_1\alpha\leqslant \frac{\pi}{3}<(n_1+1)\alpha\) à savoir \(n_1= E\left( \frac{\pi}{3\alpha}\right)\).

Mais alors, \(\frac{\pi}{3}<(n_1+1)\alpha= n\alpha+\alpha\leqslant \frac{\pi}{3}+ \frac{\pi}{3}= \frac{2\pi}{3}\) et l’entier \(n_0=n_1+1\) convient.

Ceci montre que \(f(\alpha)\geqslant\sin \frac{\pi}{3}= \frac{\sqrt{3}}{2}=f\left( \frac{\pi}{3}\right)\).

Finalement \(\forall\alpha\in]0,\pi[\), \(f(\alpha)\geqslant f\left( \frac{\pi}{3}\right)\) et donc \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}=\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Min}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}=f\left( \frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}\).

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