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Montrer que $\overline B$ et $\mathring B$ sont convexes.

Si la norme est euclidienne, montrer que si $\vec u,\vec v \in \overline B$ avec $\vec u \ne \vec v$, alors $]\vec u,\vec v\,[ \subset \mathring B$.

$(]\vec u,\vec v\,[ = \{ (1-t)\vec u + t\vec v \text{ tq } t \in {]0,1[}\,\})$

En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie $A$ telle que $\mathring B\subset A \subset \overline B$ est convexe.

Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.