Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), \(r > 0\). On note \(\overline B = \overline B(\vec a,r)\) et \(\mathring B = \mathring B(\vec a,r)\).
1
Montrer que \(\overline B\) et \(\mathring B\) sont convexes.
2
Si la norme est euclidienne, montrer que si \(\vec u,\vec v \in \overline B\) avec \(\vec u \ne \vec v\), alors \(]\vec u,\vec v\,[ \subset \mathring B\).
\((]\vec u,\vec v\,[ = \{ (1-t)\vec u + t\vec v \text{ tq } t \in {]0,1[}\,\})\)
3
En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie \(A\) telle que \(\mathring B\subset A \subset \overline B\) est convexe.
4
Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.