L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1751

Soient AA et BB deux parties non vides et majorées de R\R. On définit : A+B={c∈R ∣ ∃a∈A,∃b∈B,c=a+B}.A+B=\{c\in\R\ | \ \exists a\in A,\exists b\in B, c=a+B\}.

1

Montrer que A+BA+B admet une borne supérieure, puis que sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)=\sup A+\sup B.

2

Montrer l’implication : ∃M∈R  ∀x∈A,∀y∈B,  x+y<M⇒sup⁡A+sup⁡B≤M.\exists M\in\R\;\forall x\in A,\forall y\in B,\;x+y<M\Rightarrow\sup A+\sup B\leq M.

Exercice Waz7

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