L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 3 questions

exo7 1755

On se propose de montrer que tout ouvert de $\R$ est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère donc un ouvert $U\subset\R$ et pour tout $x\in U$ on pose $C(x)=\{y\in [x,+\infty[\ \mid [x,y]\subset U\} \cup \{y\in ]-\infty,x[\ \mid [y,x]\subset U\}.$

Montrer que $C(x)$ est un intervalle ouvert pour tout $x$ . (Considérer $\inf_{y\in C(x)}y$ et $\sup_{y\in C(x)}y$ .)

Pour tous $x,y$ dans $U$ , montrer qu’on a $C(x)=C(y)$ ou $C(x)\cap C(y)=\emptyset$ .

Conclure.