On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère donc un ouvert \(U\subset\R\) et pour tout \(x\in U\) on pose \[C(x)=\{y\in [x,+\infty[\ \mid [x,y]\subset U\} \cup \{y\in ]-\infty,x[\ \mid [y,x]\subset U\}.\]
1
Montrer que \(C(x)\) est un intervalle ouvert pour tout \(x\). (Considérer \(\inf_{y\in C(x)}y\) et \(\sup_{y\in C(x)}y\).)
2
Pour tous \(x,y\) dans \(U\), montrer qu’on a \(C(x)=C(y)\) ou \(C(x)\cap C(y)=\emptyset\).
3
Conclure.