L2 Analyse Topologie 6 questions

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Soit EE un espace vectoriel normé de dimension finie et FF un hyperplan de EE. Soit ε∈E\varepsilon\in E tel que Rε\R\varepsilon soit supplémentaire de FF. Soit ff une forme linéaire sur FF.

1

Montrer que : ∀ x1,x2∈F, f(x1)−∥∣f∥∣  ∥x1−ε∥≤∥∣f∥∣  ∥x2+ε∥−f(x2)\forall\ x_1,x_2\in F,\ f(x_1)-\|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_1-\varepsilon\| \le \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_2+\varepsilon\| - f(x_2).

2

Montrer qu’il existe α∈R\alpha\in\R tel que : ∀ x1,x2∈F, f(x1)−∥∣f∥∣  ∥x1−ε∥≤α≤∥∣f∥∣  ∥x2+ε∥−f(x2)\forall\ x_1,x_2\in F,\ f(x_1)-\|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_1-\varepsilon\| \le \alpha \le \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_2+\varepsilon\| - f(x_2).

3

On définit φ:E→R\varphi : E \to \R par φ∣F=f\varphi_{|F} = f et φ(ε)=α\varphi(\varepsilon) = \alpha. Montrer que ∥∣φ∥∣=∥∣f∥∣\|\kern-1.2pt|\varphi\|\kern-1.2pt| = \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|.

4

On considère E={u=(un)n∈N∈RN tq ∑n∈N∣un∣<+∞}E = \{u = (u_n)_{n\in\N}\in\R^\N\text{ tq }\sum_{n\in\N}|u_n|<+\infty\} avec la norme définie par : ∥u∥=∑n∈N∣un∣\|u\| = \sum_{n\in\N}|u_n|. Montrer que EE est complet pour cette norme.

5

Donner une famille dénombrable de sev de EE de dimensions finies dont la réunion est dense dans EE.

6

Soit FF un sev de EE de dimension finie et ff une forme linéaire sur FF. Montrer qu’il existe une forme linéaire φ\varphi sur EE telle que φ∣F=f\varphi_{|F} = f et ∥∣φ∥∣=∥∣f∥∣\|\kern-1.2pt|\varphi\|\kern-1.2pt| = \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|.

Exercice SQHP

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