On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et \(D = \{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } 0 < x^2+y^2 \le 1 \}\). Soit \(f : \Omega \to \R\). On dit que \(f\) est positivement homogène de degré \(\alpha\) si :
\[\forall\ (x,y) \in \Omega, \forall\ t > 0,\ f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y).\]
1
Donner des exemples de telles fonctions pour \(\alpha = 1,0,-2, \frac 12\).
2
Soit \(f\) continue, positivement homogène de degré \(\alpha\). Montrer que si \(\alpha \ge 0\), \(f\) est bornée sur \(D\) et que si \(\alpha > 0\), \(f\) admet une limite finie en \((0,0)\). Examiner les cas \(\alpha = 0\), \(\alpha < 0\).