L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 4793

On note Ω=R2∖{(0,0)}\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\} et D={(x,y)∈R2 tq 0<x2+y2≤1}D = \{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } 0 < x^2+y^2 \le 1 \}. Soit f:Ω→Rf : \Omega \to \R. On dit que ff est positivement homogène de degré α\alpha si :

∀ (x,y)∈Ω,∀ t>0, f(tx,ty)=tαf(x,y).\forall\ (x,y) \in \Omega, \forall\ t > 0,\ f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y).

1

Donner des exemples de telles fonctions pour α=1,0,−2,12\alpha = 1,0,-2, \frac 12.

2

Soit ff continue, positivement homogène de degré α\alpha. Montrer que si α≥0\alpha \ge 0, ff est bornée sur DD et que si α>0\alpha > 0, ff admet une limite finie en (0,0)(0,0). Examiner les cas α=0\alpha = 0, α<0\alpha < 0.

Exercice g7iY

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