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Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur $\R[x]$ : $N(\sum\limits_i a_ix^i) = \sum\limits_i \lambda_i|a_i|$.

Soient $(\lambda_n)$ et $(\lambda'_n)$ deux suites et $N$, $N'$ les normes associées. Montrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes si et seulement si les suites $\Bigl(\frac{\lambda_n}{\lambda'_n}\Bigr)$ et $\Bigl(\frac{\lambda'_n}{\lambda_n}\Bigr)$ sont bornées.