Montrer que \(GL_n(\Rr)\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\), dense dans \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer que \(\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus GL_n(\Rr)\) est fermé mais non compact (pour \(n\geqslant2\)).
Montrer que \(O_n(\Rr)\) est compact. \(O_n(\Rr)\) est-il convexe ?
Montrer que \(S_n(\Rr)\) est fermé.
Soit \(p\in\llbracket0,n\rrbracket\). Montrer que l’ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à \(p\) est un fermé de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables dans \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\Cc)\). Peut-on remplacer \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) par \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ?
Propriétés topologiques de l’ensemble des triplets de réels \((a,b,c)\) tels que la forme quadratique \((x,y)\mapsto ax^2+2bxy+cy^2\) soit définie positive ?
Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques (matrices \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telles que \(\forall (i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), \(a_{i,j}\geqslant0\) et \(\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}= 1\)) est un compact convexe de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) est connexe par arcs.