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Montrer que $GL_n(\Rr)$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\Rr)$, dense dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$.

Montrer que $\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus GL_n(\Rr)$ est fermé mais non compact (pour $n\geqslant2$).

Montrer que $O_n(\Rr)$ est compact. $O_n(\Rr)$ est-il convexe ?

Montrer que $S_n(\Rr)$ est fermé.

Soit $p\in\llbracket0,n\rrbracket$. Montrer que l’ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à $p$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\Rr)$.

Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$. Peut-on remplacer $\mathcal{M}_n(\Cc)$ par $\mathcal{M}_n(\Rr)$ ?

Propriétés topologiques de l’ensemble des triplets de réels $(a,b,c)$ tels que la forme quadratique $(x,y)\mapsto ax^2+2bxy+cy^2$ soit définie positive ?

Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques (matrices $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ telles que $\forall (i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$, $a_{i,j}\geqslant0$ et $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}= 1$) est un compact convexe de $\mathcal{M}_n(\Rr)$.

Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\Rr)$ est connexe par arcs.