1ère solution. Montrons qu’entre deux réels distincts, il existe un rationnel.

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x < y\). Soient \(d= y -x\) puis \(n\) un entier naturel non nul tel que \(\frac{1}{n}<d\) (par exemple, \(n=E\left( \frac{1}{d}\right)+1\)). Soient enfin \(k = E(nx)\) et \(r = \frac{k+1}{n}\). \(r\) est un rationnel et de plus

\(x = \frac{nx}{n}< \frac{k+1}{n}=r\leqslant \frac{nx+1}{n}=x+ \frac{1}{n}<x+d=x+y-x = y\).

En résumé, \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \((x<y\Rightarrow\exists r\in\Qq/\;x<r<y)\). Ceci montre que \(\Qq\) est dense dans \(\Rr\).

2ème solution. On sait que tout réel est limite d’une suite de décimaux et en particulier tout réel est limite d’une suite de rationnels. Donc \(\Qq\) est dense dans \(\Rr\).

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