Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose \[\|x\|_{1} = \sum_{i=1}^n |x_i| \quad ; \quad \|x\|_{2} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}\] et \[\|x\|_{\infty} = \sup \{ |x_i| : 1 \leq i \leq n\} .\]
1
Démontrer que \(\|\cdot\|_{1}\) est une norme sur \(\R^n\).
2
Démontrer que \[\|x\|_{\infty} \leq \|x\|_{2} \leq \|x\|_{1} \leq n \|x\|_{\infty}\] et \[\|x\|_{2} \leq \sqrt{n}\|x\|_{\infty},\] pour tout \(x \in \R^n\). Discuter le cas \(n = 1\).
3
Représenter dans \(\R^2\) la boule unité fermée \[B_{\|\cdot\|} = \{ x = (x_1,x_2) \in \R^2 \; ;\; \|x\| \leq 1\}\] pour chacune des normes \(\|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2}\) et \(\|\cdot\|_{\infty}\).