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Soit $x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n$ . On pose $\|x\|_{1} = \sum_{i=1}^n |x_i| \quad ; \quad \|x\|_{2} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}$ et $\|x\|_{\infty} = \sup \{ |x_i| : 1 \leq i \leq n\} .$

Démontrer que $\|\cdot\|_{1}$ est une norme sur $\R^n$ .

Démontrer que $\|x\|_{\infty} \leq \|x\|_{2} \leq \|x\|_{1} \leq n \|x\|_{\infty}$ et $\|x\|_{2} \leq \sqrt{n}\|x\|_{\infty},$ pour tout $x \in \R^n$ . Discuter le cas $n = 1$ .

Représenter dans $\R^2$ la boule unité fermée $B_{\|\cdot\|} = \{ x = (x_1,x_2) \in \R^2 \; ;\; \|x\| \leq 1\}$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2}$ et $\|\cdot\|_{\infty}$ .

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